Для генерации похожих на фотографии структур, модуляционная передаточная функция, и другие разные графики в этой книге, было необходимым применять принцип Гюйгенса-Френеля в контексте оптики Фурье. То что следует предназначается, только как набросок концепций использованных здесь. Для большего понимания, проконсультируйтесь со ссылками упомянутыми ниже. Наиболее легкая для чтения Введение в оптику Фурье Джозефа У.Гудмана (Goodman 1968) или текст Юджина Хехта Оптика (Hecht 1987).

АПЕРТУРА, одна из програм упомянутая в этом приложении, была выпущена как необязательный программный продукт вместе с этой книгой. Эта программа производит вычисления осесимметричных структур представленных в тексте, включая сферическую аберрацию, центральную преграду, зоны, заваленный край, аподизированные апертуры, и др. Поскольку эта программа не нужна, чтобы оценить темы представленные в предыдущих главах, реалии публикации ограничивают количество картинок, которые могут появиться здесь. АПЕРТУРА позволяет одну роскошь исследования тонких деталей кое-чего из наиболее интересного поведения.

В.1. Концепция дифракции.

Гл. 4 представила упрощенное введение в некоторые идеи лежащие в основе дифракции и принципа Гюйгенса-Френеля. Для цели обсуждения, мы предположили, что каждая точка на волновом фронте переизлучает волну. Эта удобная фантазия имеет некоторые трудности, тем не менее. Если каждая точка свободна излучать в каждом направлении одинаково, апертура произвольно отражала бы обратно в космос часть достигшей ее энергии.

Френель понял, что они оказывались препятствиями, поэтому он сделал некоторые аппроксимации. Его модель не производилась от первых принципов, которые вероятно помогают объяснить интенсивные исследования в этом направлении такими знаменитостями как Пуассон. В начале 19-ого столетия, даже физический процесс производящий свет еще не был понят.

Последствие второй аппроксимации – одновременное указание обоих полевых значений в апертуре в добавление к их производным. Гармоническая по времени форма волнового уравнения является дифференциальным уравнением второго порядка для которого нормальный метод решения состоит в том чтобы установить либо значение поля на границах, либо производную этого поля. Необычно, что Кирхгоф давал и то и другое.

(В.1)

Здесь, N - произвольная нормализация, и временная зависимость была подавлена. U(x¢ ,y¢ ) значение поля при положении изображения (x¢ ,y¢ ). (версии обобщенного переноса для этой формулы выводятся у Хехта 1987б стр. 461-462; Гудмана 1968, стр. 37-41; Борна и Вольфа 1980; стр. 378-380.) Интеграл может быть выполнен по всей поверхности А, но подинтегральное выражене не нулевое только внутри зрачка апертуры.

Член T(x,y)e^{i2p W(x,y)} называется функцией зрачка и просто комплексное число в дуговом представлении. Коэффициент переноса Т(х,у) является своим собственным модулем и функция W(x,y) (в длинах волны) подразумевает фазу. W(x,y) содержит аберрации, такие как: турбуленция, зажатая оптика, дефокусировка астигматизм, и т.д. Член с косинусами в скобках - угол наклона или коэффициент наклонения. Эта функция уничтожит нефизическое обратное распространение фронта волны. Если мы расположим источник далеко, тогда q _s = 0 и cosq _s = 1. Установим q _r в 180° , как если бы было при обратном распространении, и коэффициент наклонения исчезает.

В записи уравнения В.1, была неявно сделана и другая аппроксимация. Функция аберрации W(x,y) влияет на углы в коэффициенте наклонения слегка, и уравнение нигде не содержит этого эффекта. Для всех практических целей, это изменение в угле ничтожно мало. Типично, наихудшие отклонения волнового фронта в этой книге составляют 30 длин волн на 100мм, или около 0.01° . Ур. В.1 так же содержит предположение о линейности.

Ключевые элементы в формуле Френеля-Кирхгоффа – два коэффициента: e^ikr/r и e^iks/s (k=2p /l ). Здесь принцип Гюйгенса переизлучающих элементарных точек записывается в математической форме. Каждое из этих выражений – независимая по времени часть функции сферической волны. Знаменатель заставит интенсивность подчиняться обратно квадратичному закону света (вдвое дальше, на четверть ярче). Числитель ручается, что зоны Френеля будут верно раскрашены на апертуре. “s” сферическая волна представляет распространение волны от источника до точки на апертуре. Она затем возрождается как “r” сферическая волна, которая распространяется до точки приема.

(В.2)

Если уж интеграл берется по всей открытой апертуре, ур. В.2 говорит, что интенсивность известна только для одной точки в пространстве изображения. Для того, чтобы найти ее для другого положения, мы должны изменить значения х¢ и у¢ и вычислить интеграл поля снова. Чтобы окончательно обрисовать изображение полностью этот способ требует (по меньшей мере) уйму времени.

Другое название выражения I(x¢ ,y¢ ) функция точечного распространения, или PSF. PSF определяет, как дифракция, препятствия, и аберрации превращают совершенно резкий точечный источник света в диффузный диск. В случае совершенной оптики имеющей фильтром только конечных размеров круговую апертуру, PSF соответствует хорошо знакомой структуре диска Эри.

Мы можем упростить ур. В.1 обнаружив некоторые симметрии и переведя задачу в другую систему координат. Во-первых, мы располагаем источник в удаленном местоположении на оси так чтобы s являлось очень большой константой. Потом мы можем вытянуть e^iks/s константу из интеграла и закопать ее в нормализационной константе. Поскольку мы используем фокусирующую линзу или зеркало, мы притворяемся, что точка приема так же очень отдалена «несгибанием» волнового фронта (Борн и Вольф 1980, стр. 382-386). В аппроксимации Фраунгофера (она здесь названа несгибанием) важными величинами больше являются не расстояния, а от-осевые углы от центра апертуры до удаленного сенсора.

(В.3)

Пока что не выглядя сильно проще чем ур. В.1, аппроксимация Фраунгофера разделалась со всеми этими весьма беспорядочными расстояниями r и s (или по меньшей мере они теперь аккуратно подвернуты.) f _x – угол к точке изображения в х-направлении, тогда как f _y – угол к точке изображения в у-направлении. Второй экспоненциал в подинтегральном выражении просто фазовое расхождение вызываемое углом наклона к вычисляемому положению изображения. Этот член все равно что приподнимает некий стол за угол и спрашивает как приподнялся стол в каждой точке своей поверхности. Над ножкой все еще касающейся пола, избыточный вес будет равен нулю. В приподнятом углу он имеет максимальную величину. В каждой точке над апертурой, эта аберрация «наклона» может быть легко вычислена. Для всех случаев представляющих здесь интерес sin f очень близок к f , что упрощает его еще больше.

В аппроксимации Фраунгофера, коэффициент угла наклона игнорируется из-за ничтожных отклонений волнового фронта от его сферически сходящегося пути. N¢ - новая нормализационная константа.

Легкое касание для небольших значений дефокусировки может наверно быть измерено сдвигом фокуса в тбл. 5-1 деленным на фокусное расстояние инструмента (что равно фрактальному изменению в сагитте волнового фронта). Например, у аберрации дефокусировки в 12 длин волны на 8-и дюймовом (200-мм) f/6 телескопе, D ¦ ¤ ¦ =0/0016, очень маленькая дробь.

Звездный тест сфокусированной апертуры на равных расстояниях внутри и снаружи фокуса воспроизводится не точно, но разница мала. К примеру 200-мм f/6 телескоп дефокусированный на 1.9мм указан в тбл. 5-1 как имеющий аберрацию дефокусировки в 12 длин волны. Тщательные вычисления показывают, что 1.9мм внутри фокуса имеет более точную аберрацию в 12.02 длин волны. Снаружи равное движение окуляра становится аберрацией дефокусировки в 11.98 длин волны. Если бы нам было нужно отрегулировать фокусер так, чтобы аберрация стала точно в 12 длин волны, тогда изображение внутри фокуса было бы все равно все меньше и ярче, а изображение снаружи фокуса росло и темнело. Таким образом, эффект обнаруживается в увеличении разницы. Возможно, если бы мы дефокусировали очень точно, применяя измерительный винт, мы едва-едва смогли бы обнаружить эти отличия, но большинство людей проводящих звездный тест никогда не заметят никакой разницы. Мы должны просто поручиться, что дробь D ¦ ¤ ¦ мала (Бачынский и Бекефи 1957; Ли 1982; Эркилла и Роджерс 1981).

(В.4)

Где r нормализованная радиальная координата апертуры, r¢ - радиальная координата на фокальной плоскости, J₀ - функция Бесселя нулевого порядка, и N¢ ¢ другая константа норамализации (Лунебург 1964, стр. 345; Шрёдер 1987, стр. 181-182).

В этой книге, все окружно-симметричные изображения были вычислены с использованием этого упрощения. В частности, использованный алгоритм делил радиус на Nr равно отставленных точек (обычно 300-500) и вычислял сумму интенсивности

(В.5)

Здесь значение j - редуцированный угол изображения Dq /l , где q - истинный угол, D - диаметр апертуры, и l - длина волны. (Этот угол удобно достигает края диска Эри для однородной круговой апертуры на 1.22) W_d – аберрация дефокусировки А₂(j/Nr )² (определенная в гл. 10) в длинах волны, и W_j содержит остальные аберрации. T_j – как раз коэффициент передачи в исследуемой радиальной точке j. J₀ вычисляется с использованием адаптированной подпрограммы из Numerical Recipes (Пресс и др. 1986).

Также было просто держать трек круговой энергии изображения с возрастанием j . Поскольку ур. В.5. радиальная сумма, интенсивность внешних частей изображения должна иметь больший вес с возрастанием периметра. Нормализованное прирастание круговой энергии приблизительно

(В.6)

Где D j шаг в угле изображения и Î _TR полная часть энергии входящей в систему. Если преграда – 50%, Î _TR - 0.75, и круговая энергия возрастает достаточно чтобы достичь единства за пределами диска Эри.

Модуляционная передаточная функция (МПФ) не была вычислена для циркулярно симметричных апертур в своей наиболее простой форме как автокорреляция (см. ниже). Такое вычисление слишком медленно. Вместо этого, когда I(j ) выносится далеко за пределы диска Эри, она могла бы быть использована чтобы вывести передаточную функцию. Изображение просто усложнение совершенного синусоидального штрих-теста функцией точечного распространения. Для пространственной частоты n , интеграл (адаптировано из Шрёдера 1987, стр. 204)

(В.7)

Число М₀ – нормализация на нулевой пространственной частоте.

Проблемы с этим вычислением не очевидны при случайном исследовании. Верхний предел интеграла предполагает, что интенсивность известна для произвольно высокого угла. Мы можем вычислить интенсивность для любого угла, конечно, но за пределами угла о котором мы ничего не знаем должна быть энергия. Высокие углы передаются очень низкими пространственными частотами. Так, с первого взгляда показалось бы, что эта энергия автоматически принимается в расчет при интегральной оценке нормализации М₀ на n =0.

Эта аппроксимация заставляет взяться за гаечный ключ. Модуляционная передаточная функция таким способом имеет правильное значение (т.е., 1) на пространственной частоте – 0, но на более высоких пространственных частотах, вычисленная передаточная функция слишком высока. Неизбежное заключение таково, что усечение угла вызывает численно пониженную МПФ на низких пространственных частотах. Другими словами, если мы не собрали удаленную энергию в наше вычисление интенсивности, нам лучше не ставить ее в ур. В.7. Отсюда, вычислительный алгоритм слегка модифицируется:

(В.8)

Здесь MTF(0) просто сумма посчитанная для n =0, и m индекс суммирования. EE(j _max) фрактальная круговая энергия настолько далеко просчитанная насколько выполняется интеграл функции распространения точек. Nj - число углов в суммировании интенсивности. Этот эффект на МПФ вызывает маленький загиб вниз по направлению к низким пространственным частотам. В большинстве картинок появляющихся в этой книге, функция интенсивности переносилась на углы, где более низкая часть МПФ могла бы быть аппроксимирована прямой линией к известному перехвату единства у истока. Обычно круговая энергия в наиболее удаленном угле сфокусированного образца превышает 99%.

Несмотря на то что вычисления поля уравнения В.4 длинны, они во много раз короче, двойного интеграла требуемого для несимметричной функции зрачка. В ту эпоху, когда время дешевых компьютеров еще не пришло, иные заметили, что генерация этих структур утомительна (Оллред и Миллз 1989); они вычислялись вовсе не так часто. Каждая апертура моделируется квадратной сеткой 129х129 точек, с точками дальше 64 от центра обращенными в 0. В пределах апертуры 12’853 точки. Плоскость изображения – сетка 129х129 точек также. Интеграл в ур. В.3 должен выполняться для каждого из этих 16’641 положений изображения. Для каждого несимметричного снимка в этой книге, подинтегральное выражение уравнения В.3 требовало вычисления свыше 210 миллионов раз.

Плоскость изображения может быть нарисована одним большим махом с использованием другой техники. Если бы двумерное преобразование Фурье было бы взято из комплексной функции зрачка, результатом было бы (после перестановки и дальнейшей обработки) законченное изображение. Быстрое преобразование Фурье (FFT) полезно для уменьшения вычислительной нагрузки (Бригхэм 1988).

Эта процедура сама по себе включает значительные вычисления. В этой книге угол j был смоделирован на значениях Dq /l от 0.05 до 0.1. Чтобы получить сетку с такими тонкими промежутками, массив функции зрачка должен бы быть заполнен пробелами (наполнен нулями) до 1024х1024 или 2048х2048. Память такого массива единичной точности заняла бы от 8 до 32 мегабайт. Большое преимущество в скорости FFT было бы проглочено относительно медленным временем доступа к виртуальной памяти на диске (большие размеры RAM еще не были распространены во время написания этой программы). Одна компания по производству программного обеспечения предложила двумерную FFT программу, которая могла бы провернуть комплексный 1024х1024 массив за несколько минут. Однако, эта программа не использовала диск в качестве виртуальной памяти во время эталонного теста; массив целиком держался в быстрой электронной памяти.

где W_d аберрация дефокусировки, W_d=A₂(t²+u²)/64² и величины W_t,u содержат остальные аберрации.

N здесь число точек зрачка, т.е. 12’853. Эта сумма выполняется для каждой точки изображения в сетке, пробегающей по индексам m и n от –64 до 64.

Асимметричные зрачки имеют комплексные передаточные функции. Полное описание представления асимметричных апертур называется оптической передаточной функцией (OTF) и имеет следующий вид:

(В.10)

Воображаемый экспонент Y (n ) - фазовая передаточная функция. Для малых аберраций реальная часть OTF намного больше чем воображаемая доля. Так, фазой, как правило, пренебрегают. Модуль MTF(n ) величина обычно равная оптическому качеству системы.

Ясно, мы не можем применять циркулярно симметричную функцию уравнения В.7 чтобы вычислить OTF асимметричного зрачка. Вместо того, мы используем чистую формулировку хорошо описанную во многих местах (Борн и Вольф 1980, стр. 485; Паррент и Томпсон 1969, стр. 22; Лунебург 1964, стр. 356). OTF вычисляется как автокорреляция функции зрачка:

(В.11)

Действительный алгоритм принял во внимание сэмплирование апертуры на прямоугольной сетке. Поскольку смещения должны высаживаться на сэмплированные позиции, OTF была вычислена только для целых смещений вдоль x и y направлений и 45° -ого смещения с равными сдвигами. Алгоритм для сдвига только по х направлению был:

(В.12)

где индексы s («сдвиг»), u,s, и t проходят от –64 до 64 и n _у=(s+64)/128. Максимальная пространственная частота соотносится с n _x=1. Здесь массив зрачка отмеряется от его центра.

Если бы зрачек мог быть описан и в амплитуде и в фазе некой формой преобразования, дифракционные структуры вычислялись с применением отдельной программы АПЕРТУРА. Эта программа позволяет пользователю определить и передачу и аберрацию как функции радиуса. После выборки значения аберрации дефокусировки, АПЕРТУРА считает функцию точечного распространения (PSF) и круговую энергию. Если PSF была вычислена достаточно далеко от центрального дифракционного диска, может быть сгенерирована модуляционная передаточная функция.

АПЕРТУРА относительно быстра. Если радиус делится на 300 сэмплированных точек, она может выполнить 200 вычислений заключающих типичную сфокусированную PSF менее чем за минуту при использовании 25МГц 386/7. Потом она покажет изображение в оттенках серого на VGA экране.

Отсюда может быть привлечена программа PSTDR. POSTDR переводит файл интенсивности в 128х128 полутоновое изображение с применением языка описания страниц PostScript^TM. POSTDR позволяет подстраивать контраст и яркость рисунка, которые бы подошли ограниченному динамическому диапазону печатной бумаги.

Рис. В-4. Функции точечного распространения, использованные для генерации предидущего рисунка вдоль одного радиуса.

Оба решения написаны как бесконечные серии, имеющие каждая свою область приложения, одно внутри геометрической тени другое, вне нее. Эти серии были запрограммированы в MathCadÔ ’овском документе и каждая была начерчена в области, в которой предполагается работать (не показано). Результаты были неотличимы от результатов АПЕРТУРы. Тесты проводились вплоть до 12 длин волны аберрации дефокусировки и были ограничены в функциях Бесселя влоть до 80-ого порядка.

ASYMM моделирует апертуру с приблизительно круговой структурой 64-х точек в радиусе. Эти точки распространены прямоугольной структурой. Край такой сэмплированной апертуры необходимо рваный. Мы возможно способны оценить насколько большая вызывается ошибка исследовав рис. В-6, который показывает разницу между APERTURE и ASYMM на дефокусированной неаберрированной апертуре увеличиваемой до тех пор пока ошибки не станут видимыми.

Если мы не дефокусировали достаточно далеко чтобы отклонить значащий луч в удаленные части пространства изображения, никаких затруднений не будет. Другими словами, это изображение его близнец (следуют под сокращенным углом 128) не интерферируют потому, что они не бросают много света удаленного от их центров. Тем не менее, существует предел дефокусировки изображения, пока интерференция не станет серьезной. Мы должны знать, что этот предел такой, что он может рыть разумно обойден.

Рис. В-8 показывает структуру к Dq /l =128 для трех случаев: аберрации дефокусировки в 8, 12 и 16 длин волны. Ясно, 16 длин волны слишком далеко, и 12 – сомнительно из-за темно серых усиков между изображениями. Только кадр, показывающий 8 длин волны показывает дифракционные диски реально изолированными.

Рис. В-8. Интерференция между изображениями бокового порядка в ASYMM. Заметьте, что сокращенный угол очень велик в 128.

где F фокальное отношение и D n число длин волны разницы фокусировки. Мы можем вычислить геометрический радиус изображения:

(В.13)

Раз радиус диска Эри 1.22Fl мы можем идентифицировать Fl как множитель перевода из сокращенного угла в радиус. Таким образом, 4D n число длин волны разницы фокусировки. В представленном случае, аберрация в 8 длин волн аберрации дефокусировки значит, что геометрическая тень начинается на сокращенном угле 4х8=32, или 26.2 радиуса диска Эри.

Динамический диапазон книжной репродукции не такой же как у человеческого глаза. Когда глаз получает неверный уровень света, он подстраивается. Бумага так не может. Полутоновый процесс делит серую шкалу в точечные структуры. Идеальный динамический диапазон для такого процесса допускает серую шкалу с 256-ю уровнями интенсивности.

Ясно, наиболее желательным методом было бы использование неизменяемого масштаба для процесса печати. Эта процедура невозможна с только 256-ю уровнями. Мы видели выше, что много интересных деталей проявлялись только с интенсивностью в 0.0001, в частности с большими значениями аберрации дефокусировки. Так, никакой однородный масштаб не может покрыть и сфокусированные изображения (интенсивность=1) и дефокусированные (интенсивность @ 0.0001). Нам бы потребовалась серая шкала с 10’000-ми уровнями интенсивности. Также, изображение, что подсвечивает само себя и изображение обладающее отражательной способностью имеют малые различия. Реальные звезды видятся на темном фоне, с логарифмической чувствительностью глаза прослеживающей пониженную чувствительность дефокусированного изображения. Изображения на бумаге должны быть освещены лампой. Когда бумажные изображения становятся темнее, глаз не подстраивается. Яркие углы бумаги все еще в поле зрения, и добавочное освещение ниспровергает аккомодацию.