Приложение В.

Методы вычисления

Для генерации похожих на фотографии структур, модуляционная передаточная функция, и другие разные графики в этой книге, было необходимым применять принцип Гюйгенса-Френеля в контексте оптики Фурье. То что следует предназначается, только как набросок концепций использованных здесь. Для большего понимания, проконсультируйтесь со ссылками упомянутыми ниже. Наиболее легкая для чтения Введение в оптику Фурье Джозефа У.Гудмана (Goodman 1968) или текст Юджина Хехта Оптика (Hecht 1987).

АПЕРТУРА, одна из програм упомянутая в этом приложении, была выпущена как необязательный программный продукт вместе с этой книгой. Эта программа производит вычисления осесимметричных структур представленных в тексте, включая сферическую аберрацию, центральную преграду, зоны, заваленный край, аподизированные апертуры, и др. Поскольку эта программа не нужна, чтобы оценить темы представленные в предыдущих главах, реалии публикации ограничивают количество картинок, которые могут появиться здесь. АПЕРТУРА позволяет одну роскошь исследования тонких деталей кое-чего из наиболее интересного поведения.

В.1. Концепция дифракции.

Гл. 4 представила упрощенное введение в некоторые идеи лежащие в основе дифракции и принципа Гюйгенса-Френеля. Для цели обсуждения, мы предположили, что каждая точка на волновом фронте переизлучает волну. Эта удобная фантазия имеет некоторые трудности, тем не менее. Если каждая точка свободна излучать в каждом направлении одинаково, апертура произвольно отражала бы обратно в космос часть достигшей ее энергии.

Отражение в апертуре не наблюдается, не видно его так же ни в какой точке волнового фронта. Волны внезапно не меняют направление на обратное, если только они не сталкиваются с изменениями в среде. Сумма волн также не дает правильного ответа, когда интегрируется по ситуации без апертуры, просто от источника света и до приемника. Интеграл берется по целой сфере, и излучатели под прямыми углами между источником и приемником имеют слишком большой вес.

Френель понял, что они оказывались препятствиями, поэтому он сделал некоторые аппроксимации. Его модель не производилась от первых принципов, которые вероятно помогают объяснить интенсивные исследования в этом направлении такими знаменитостями как Пуассон. В начале 19-ого столетия, даже физический процесс производящий свет еще не был понят.

Последние исследования Густава Кирхгоффа родили вариант теории Гюйгенса-Френеля, производимый из первых принципов. Его результат, именуемый формула дифракции Френеля-Кирхгоффа, больше не требует, чтобы игнорировалось обратное направление, однако она требует нескольких аппроксимаций:

Свет моделируется как скалярная волна. Поляризация не включается. Модель не принимает в расчет векторную природу света.

Полевые значения рядом с апертурой такие же какими были бы при ее отсутствии (это достигается простой тригонометрической функцией).

Расстояние от апертуры достаточно чтобы удостовериться, что отсутствуют временные или связанные поля.

Последствие второй аппроксимации – одновременное указание обоих полевых значений в апертуре в добавление к их производным. Гармоническая по времени форма волнового уравнения является дифференциальным уравнением второго порядка для которого нормальный метод решения состоит в том чтобы установить либо значение поля на границах, либо производную этого поля. Необычно, что Кирхгоф давал и то и другое.

Мы должны рассматривать решение Кирхгоффа, с его чрезмерно определенными границами, как некоторую аппроксимацию. Эта аппроксимация не оказывает влияния на результаты, если структура апертуры не слишком сложна. Мы справедливо можем подозревать, что уравнение Френеля-Кирхгоффа будет менее точным для таких устройств как дифракционные решетки высокого разрешения. Для несильно выгнутой оптики, имеющей большую часть плошади на много длин волны удаленной от всех краев, аппроксимация не вызывает много трудностей. Более детальное описание касающееся этих критических замечаний доступно у Бейкера и Копсона (1950).

 

Рис. В-1. Переменные появляющиеся в формуле Френеля-Кихгоффа. Апертура на поверхности А.

Модифицированная форма формулы Френеля-Кирхгоффа (употребляя переменные определенные на рис. В-1):

(В.1)

Здесь, N - произвольная нормализация, и временная зависимость была подавлена. U(x¢ ,y¢ ) значение поля при положении изображения (x¢ ,y¢ ). (версии обобщенного переноса для этой формулы выводятся у Хехта 1987б стр. 461-462; Гудмана 1968, стр. 37-41; Борна и Вольфа 1980; стр. 378-380.) Интеграл может быть выполнен по всей поверхности А, но подинтегральное выражене не нулевое только внутри зрачка апертуры.

Член T(x,y)ei2p W(x,y) называется функцией зрачка и просто комплексное число в дуговом представлении. Коэффициент переноса Т(х,у) является своим собственным модулем и функция W(x,y) (в длинах волны) подразумевает фазу. W(x,y) содержит аберрации, такие как: турбуленция, зажатая оптика, дефокусировка астигматизм, и т.д. Член с косинусами в скобках - угол наклона или коэффициент наклонения. Эта функция уничтожит нефизическое обратное распространение фронта волны. Если мы расположим источник далеко, тогда q s = 0 и cosq s = 1. Установим q r в 180° , как если бы было при обратном распространении, и коэффициент наклонения исчезает.

В записи уравнения В.1, была неявно сделана и другая аппроксимация. Функция аберрации W(x,y) влияет на углы в коэффициенте наклонения слегка, и уравнение нигде не содержит этого эффекта. Для всех практических целей, это изменение в угле ничтожно мало. Типично, наихудшие отклонения волнового фронта в этой книге составляют 30 длин волн на 100мм, или около 0.01° . Ур. В.1 так же содержит предположение о линейности.

Ключевые элементы в формуле Френеля-Кирхгоффа – два коэффициента: eikr/r и eiks/s (k=2p /l ). Здесь принцип Гюйгенса переизлучающих элементарных точек записывается в математической форме. Каждое из этих выражений – независимая по времени часть функции сферической волны. Знаменатель заставит интенсивность подчиняться обратно квадратичному закону света (вдвое дальше, на четверть ярче). Числитель ручается, что зоны Френеля будут верно раскрашены на апертуре. “s” сферическая волна представляет распространение волны от источника до точки на апертуре. Она затем возрождается как “r” сферическая волна, которая распространяется до точки приема.

Интенсивность связывается с энергией, поэтому она не может быть комплексной величиной. Она считается из поля вычисленного выше следующим образом:

(В.2)

Если уж интеграл берется по всей открытой апертуре, ур. В.2 говорит, что интенсивность известна только для одной точки в пространстве изображения. Для того, чтобы найти ее для другого положения, мы должны изменить значения х¢ и у¢ и вычислить интеграл поля снова. Чтобы окончательно обрисовать изображение полностью этот способ требует (по меньшей мере) уйму времени.

Другое название выражения I(x¢ ,y¢ ) функция точечного распространения, или PSF. PSF определяет, как дифракция, препятствия, и аберрации превращают совершенно резкий точечный источник света в диффузный диск. В случае совершенной оптики имеющей фильтром только конечных размеров круговую апертуру, PSF соответствует хорошо знакомой структуре диска Эри.

В.2. Аппроксимации Френеля и Фраунгофера.

Мы можем упростить ур. В.1 обнаружив некоторые симметрии и переведя задачу в другую систему координат. Во-первых, мы располагаем источник в удаленном местоположении на оси так чтобы s являлось очень большой константой. Потом мы можем вытянуть eiks/s константу из интеграла и закопать ее в нормализационной константе. Поскольку мы используем фокусирующую линзу или зеркало, мы притворяемся, что точка приема так же очень отдалена «несгибанием» волнового фронта (Борн и Вольф 1980, стр. 382-386). В аппроксимации Фраунгофера (она здесь названа несгибанием) важными величинами больше являются не расстояния, а от-осевые углы от центра апертуры до удаленного сенсора.

Эта аппроксимация пишется так (Хехт 1987, стр. 494):

(В.3)

 

Пока что не выглядя сильно проще чем ур. В.1, аппроксимация Фраунгофера разделалась со всеми этими весьма беспорядочными расстояниями r и s (или по меньшей мере они теперь аккуратно подвернуты.) f xугол к точке изображения в х-направлении, тогда как f yугол к точке изображения в у-направлении. Второй экспоненциал в подинтегральном выражении просто фазовое расхождение вызываемое углом наклона к вычисляемому положению изображения. Этот член все равно что приподнимает некий стол за угол и спрашивает как приподнялся стол в каждой точке своей поверхности. Над ножкой все еще касающейся пола, избыточный вес будет равен нулю. В приподнятом углу он имеет максимальную величину. В каждой точке над апертурой, эта аберрация «наклона» может быть легко вычислена. Для всех случаев представляющих здесь интерес sin f очень близок к f , что упрощает его еще больше.

В аппроксимации Фраунгофера, коэффициент угла наклона игнорируется из-за ничтожных отклонений волнового фронта от его сферически сходящегося пути. N¢ - новая нормализационная константа.

Формулу Фраунгофера не предполагается применять к не нулевым значениям аберрации дефокусировки. Однако следующий член разложения уравнения В.1 применяемый в производстве аппроксимации Фраунгофера является именно этой дефокусировкой. Включение этого члена изменяет интеграл до аппроксимации Френеля. Как бы то ни было, внешняя дефокусировка не может быть накладываема на аппроксимацию Френеля – этот шаг удвоил бы счет дефокусировки. Чище заложить все эти члены в функцию зрачка , которая потом прикладывается к скелетной формуле Фраунгофера.

Легкое касание для небольших значений дефокусировки может наверно быть измерено сдвигом фокуса в тбл. 5-1 деленным на фокусное расстояние инструмента (что равно фрактальному изменению в сагитте волнового фронта). Например, у аберрации дефокусировки в 12 длин волны на 8-и дюймовом (200-мм) f/6 телескопе, D ¦ ¤ ¦ =0/0016, очень маленькая дробь.

Звездный тест сфокусированной апертуры на равных расстояниях внутри и снаружи фокуса воспроизводится не точно, но разница мала. К примеру 200-мм f/6 телескоп дефокусированный на 1.9мм указан в тбл. 5-1 как имеющий аберрацию дефокусировки в 12 длин волны. Тщательные вычисления показывают, что 1.9мм внутри фокуса имеет более точную аберрацию в 12.02 длин волны. Снаружи равное движение окуляра становится аберрацией дефокусировки в 11.98 длин волны. Если бы нам было нужно отрегулировать фокусер так, чтобы аберрация стала точно в 12 длин волны, тогда изображение внутри фокуса было бы все равно все меньше и ярче, а изображение снаружи фокуса росло и темнело. Таким образом, эффект обнаруживается в увеличении разницы. Возможно, если бы мы дефокусировали очень точно, применяя измерительный винт, мы едва-едва смогли бы обнаружить эти отличия, но большинство людей проводящих звездный тест никогда не заметят никакой разницы. Мы должны просто поручиться, что дробь D ¦ ¤ ¦ мала (Бачынский и Бекефи 1957; Ли 1982; Эркилла и Роджерс 1981).

В.3 Вычисление изображений для симметричных апертур.

Дальнейшее упрощение Фраунгоферовой аппроксимации происходит в результате если функция зрачка циркулярно симметрична. Если интеграл в ур. В.2 переписывается в полярных координатах, может быть исчислен угловой интеграл для получения

(В.4)

Где r нормализованная радиальная координата апертуры, r¢ - радиальная координата на фокальной плоскости, J0 - функция Бесселя нулевого порядка, и N¢ ¢ другая константа норамализации (Лунебург 1964, стр. 345; Шрёдер 1987, стр. 181-182).

В этой книге, все окружно-симметричные изображения были вычислены с использованием этого упрощения. В частности, использованный алгоритм делил радиус на Nr равно отставленных точек (обычно 300-500) и вычислял сумму интенсивности

(В.5)

Здесь значение j - редуцированный угол изображения Dq /l , где q - истинный угол, D - диаметр апертуры, и l - длина волны. (Этот угол удобно достигает края диска Эри для однородной круговой апертуры на 1.22) Wdаберрация дефокусировки А2(j/Nr )2 (определенная в гл. 10) в длинах волны, и Wj содержит остальные аберрации. Tjкак раз коэффициент передачи в исследуемой радиальной точке j. J0 вычисляется с использованием адаптированной подпрограммы из Numerical Recipes (Пресс и др. 1986).

Также было просто держать трек круговой энергии изображения с возрастанием j . Поскольку ур. В.5. радиальная сумма, интенсивность внешних частей изображения должна иметь больший вес с возрастанием периметра. Нормализованное прирастание круговой энергии приблизительно

(В.6)

Где D j шаг в угле изображения и Î TR полная часть энергии входящей в систему. Если преграда – 50%, Î TR - 0.75, и круговая энергия возрастает достаточно чтобы достичь единства за пределами диска Эри.

На самом деле, если круговая энергия аккумулируется примитивным образом уравнения В.6, результаты плохие. Энергия в сфокусированных изображениях резко возрастает, только когда начинает открываться радиус круга. Ошибки сделанные в этом месте могут быть велики. Программа использовала Смпсоновское правило интеграции с усложненным стартером.

Модуляционная передаточная функция (МПФ) не была вычислена для циркулярно симметричных апертур в своей наиболее простой форме как автокорреляция (см. ниже). Такое вычисление слишком медленно. Вместо этого, когда I(j ) выносится далеко за пределы диска Эри, она могла бы быть использована чтобы вывести передаточную функцию. Изображение просто усложнение совершенного синусоидального штрих-теста функцией точечного распространения. Для пространственной частоты n , интеграл (адаптировано из Шрёдера 1987, стр. 204)

(В.7)

Число М0нормализация на нулевой пространственной частоте.

Проблемы с этим вычислением не очевидны при случайном исследовании. Верхний предел интеграла предполагает, что интенсивность известна для произвольно высокого угла. Мы можем вычислить интенсивность для любого угла, конечно, но за пределами угла о котором мы ничего не знаем должна быть энергия. Высокие углы передаются очень низкими пространственными частотами. Так, с первого взгляда показалось бы, что эта энергия автоматически принимается в расчет при интегральной оценке нормализации М0 на n =0.

Эта аппроксимация заставляет взяться за гаечный ключ. Модуляционная передаточная функция таким способом имеет правильное значение (т.е., 1) на пространственной частоте – 0, но на более высоких пространственных частотах, вычисленная передаточная функция слишком высока. Неизбежное заключение таково, что усечение угла вызывает численно пониженную МПФ на низких пространственных частотах. Другими словами, если мы не собрали удаленную энергию в наше вычисление интенсивности, нам лучше не ставить ее в ур. В.7. Отсюда, вычислительный алгоритм слегка модифицируется:

(В.8)

Здесь MTF(0) просто сумма посчитанная для n =0, и m индекс суммирования. EE(j max) фрактальная круговая энергия настолько далеко просчитанная насколько выполняется интеграл функции распространения точек. Nj - число углов в суммировании интенсивности. Этот эффект на МПФ вызывает маленький загиб вниз по направлению к низким пространственным частотам. В большинстве картинок появляющихся в этой книге, функция интенсивности переносилась на углы, где более низкая часть МПФ могла бы быть аппроксимирована прямой линией к известному перехвату единства у истока. Обычно круговая энергия в наиболее удаленном угле сфокусированного образца превышает 99%.

В.4 Вычисления изображения для не симметричных апертур.

Несмотря на то что вычисления поля уравнения В.4 длинны, они во много раз короче, двойного интеграла требуемого для несимметричной функции зрачка. В ту эпоху, когда время дешевых компьютеров еще не пришло, иные заметили, что генерация этих структур утомительна (Оллред и Миллз 1989); они вычислялись вовсе не так часто. Каждая апертура моделируется квадратной сеткой 129х129 точек, с точками дальше 64 от центра обращенными в 0. В пределах апертуры 12’853 точки. Плоскость изображения – сетка 129х129 точек также. Интеграл в ур. В.3 должен выполняться для каждого из этих 16’641 положений изображения. Для каждого несимметричного снимка в этой книге, подинтегральное выражение уравнения В.3 требовало вычисления свыше 210 миллионов раз.

Плоскость изображения может быть нарисована одним большим махом с использованием другой техники. Если бы двумерное преобразование Фурье было бы взято из комплексной функции зрачка, результатом было бы (после перестановки и дальнейшей обработки) законченное изображение. Быстрое преобразование Фурье (FFT) полезно для уменьшения вычислительной нагрузки (Бригхэм 1988).

Эта процедура сама по себе включает значительные вычисления. В этой книге угол j был смоделирован на значениях Dq /l от 0.05 до 0.1. Чтобы получить сетку с такими тонкими промежутками, массив функции зрачка должен бы быть заполнен пробелами (наполнен нулями) до 1024х1024 или 2048х2048. Память такого массива единичной точности заняла бы от 8 до 32 мегабайт. Большое преимущество в скорости FFT было бы проглочено относительно медленным временем доступа к виртуальной памяти на диске (большие размеры RAM еще не были распространены во время написания этой программы). Одна компания по производству программного обеспечения предложила двумерную FFT программу, которая могла бы провернуть комплексный 1024х1024 массив за несколько минут. Однако, эта программа не использовала диск в качестве виртуальной памяти во время эталонного теста; массив целиком держался в быстрой электронной памяти.

Когда вычисление такого FFT заканчивается, массив должен быть реорганизован и извлечена интенсивность изображения. Все 8 мегабайт хранить не обязательно, но добавочная обработка для сэмплирования и ужатия изображения потребовала бы больше компьютерного времени. Наконец, было решено, что лишнее усилие требуемое для обработки изображения простым интегрированием уравнения В.3 не было тяжким бременем, и больше чем компенсировалось законченной прозрачностью кода.

Алгоритм, примененный в ядре программы был дискретной версией уравнений В.2 и В.3 и имел вид

(B.9)

где Wd аберрация дефокусировки, Wd=A2(t2+u2)/642 и величины Wt,u содержат остальные аберрации.

N здесь число точек зрачка, т.е. 12’853. Эта сумма выполняется для каждой точки изображения в сетке, пробегающей по индексам m и n от –64 до 64.

Асимметричные зрачки имеют комплексные передаточные функции. Полное описание представления асимметричных апертур называется оптической передаточной функцией (OTF) и имеет следующий вид:

(В.10)

Воображаемый экспонент Y (n ) - фазовая передаточная функция. Для малых аберраций реальная часть OTF намного больше чем воображаемая доля. Так, фазой, как правило, пренебрегают. Модуль MTF(n ) величина обычно равная оптическому качеству системы.

Эффект малой воображаемой части OTF на изображении штрих-теста состоит в небольшом сдвиге в сторону, но недостаточном, чтобы полностью аннулировать его. Аннулирование соответствующе обрабатывается негативной MTF.

Ясно, мы не можем применять циркулярно симметричную функцию уравнения В.7 чтобы вычислить OTF асимметричного зрачка. Вместо того, мы используем чистую формулировку хорошо описанную во многих местах (Борн и Вольф 1980, стр. 485; Паррент и Томпсон 1969, стр. 22; Лунебург 1964, стр. 356). OTF вычисляется как автокорреляция функции зрачка:

(В.11)

где интеграл берется по всей апертурной плоскости. Здесь Р укороченная запись функции зрачка определенной в тексте за ур. В.1. Апертурные координаты определяются так, чтобы периметр был х2+у2=1, и фракции пространственной частоты нормализуются таким же образом. Можно предположить интеграл приведенный выше как перекрытие между функцией зрачка и и функцией зрачка смещенной в сторону фракциями пространственной частоты как на рис. В-2. Для безаберрационных зрачков, OTF – темная область разделенная непокрытой областью полной апертуры.

Рис. В-2. МПФ как перекрытие со смещенным зрачком.

Действительный алгоритм принял во внимание сэмплирование апертуры на прямоугольной сетке. Поскольку смещения должны высаживаться на сэмплированные позиции, OTF была вычислена только для целых смещений вдоль x и y направлений и 45° -ого смещения с равными сдвигами. Алгоритм для сдвига только по х направлению был:

(В.12)

где индексы s («сдвиг»), u,s, и t проходят от –64 до 64 и n у=(s+64)/128. Максимальная пространственная частота соотносится с n x=1. Здесь массив зрачка отмеряется от его центра.

В.5. Программы

В.5.1. Функция симметричного зрачка.

Если бы зрачек мог быть описан и в амплитуде и в фазе некой формой преобразования, дифракционные структуры вычислялись с применением отдельной программы АПЕРТУРА. Эта программа позволяет пользователю определить и передачу и аберрацию как функции радиуса. После выборки значения аберрации дефокусировки, АПЕРТУРА считает функцию точечного распространения (PSF) и круговую энергию. Если PSF была вычислена достаточно далеко от центрального дифракционного диска, может быть сгенерирована модуляционная передаточная функция.

АПЕРТУРА относительно быстра. Если радиус делится на 300 сэмплированных точек, она может выполнить 200 вычислений заключающих типичную сфокусированную PSF менее чем за минуту при использовании 25МГц 386/7. Потом она покажет изображение в оттенках серого на VGA экране.

Отсюда может быть привлечена программа PSTDR. POSTDR переводит файл интенсивности в 128х128 полутоновое изображение с применением языка описания страниц PostScriptTM. POSTDR позволяет подстраивать контраст и яркость рисунка, которые бы подошли ограниченному динамическому диапазону печатной бумаги.

В.5.2 Функция асимметричного зрачка

Структура программы делится на две задачи. Первая программа, PUPIL (ЗРАЧЕК), генерирует начальную функцию зрачка. Типично, этот файл функции зрачка вычисляется для того, чтобы представить сфокусированный и неэкоанированный телескоп. Он так же обладает значением стандартной аберрации, такой как 1 длина волны среднеквадратичного отклонения. Этот файл затем питает программу дифракционной структуры ASYMM. Она добавляет добавочную преграду и на функцию зрачка и аберрационный множитель также. Затем ASYMM создает файл интенсивности изображения.

Поскольку ASYMM была спроектирована для выполнения утомительного прямого интегрирования уравнения В.3, она была написана на 32-х битном оптимизирующем компиляторе FFORTRAN’а и использует расширитель DOS’а во время исполнения. Она вычисляет 9.5 часов на 25МГц 386/7 и 2.3 часа на 486DX50.

Модуляционная передаточная функция вычисляется из файла функции зрачка с использованием отдельной программы названной MTF. Она генерирует файл содержащий OTF’ы трех направлений штрихов последовательно. Она быстро отклоняется от этих комплексных значений. Структуры продольного среза через фокус вычисляются вариацией ASYMM.

В.6 Проверка числовой процедуры.

Как вы можете ожидать, реальное выполнение алгоритмов весьма затруднительно по сравнению с редким представлением выше. Три метода использовались для, проверки, что кодировка была проведена верно:

Проверки для АПЕРТУРЫ и ASYMMдля циркулярно-симметричных апертур.

Сравнение с точной процедурой, и

Воспроизведение сложных образцов структур появляющихся в литературе.

В.6.1 Сравнение АПЕРТУРы и ASYMM.

Две несхожих процедуры применялось для создания образцов в симметричной и асимметричной программах. Даже если обе программы имеют родословную прослеживаемую до ур. В.3, очень мало сходства между ними может быть видно легко. Они используют различные программы и пишутся на разных языках. Мы можем вычислить те же самые ситуации, используя эти две различные процедуры и убедиться, что ответы в самом деле одинаковы.

Взяв циркулярно-симметричный зрачек и пропустив его через медленную программу прямого интегрирования ASYMM, был бы получен тот же ответ какой дает АПЕРТУРА. Тесты проводились для множества зрачков, и результатом были хорошие сравнения. Два таких рисунка представлены на рис. В-3; функция точечного распространения появляется на рис. В-4.

Картинки виртуально идентичны за исключеием легкого азимутального структурирования вывода ASYMM. Возможная причина различия изображений рассматривается ниже в части В.8.

Создавай эти программы существенно различные структуры, мы бы никогда не узнали которая из двух правильная. Но поскольку две несхожих программы выдают одинаковый ответ, либо их код составлен верно, либо невероятный несчастный случай имел место – ошибка идентично проявляющая себя в обеих процедурах. За недостатком улик для противоположного предположим что сейчас они верны и продолжают другие проверки.

Этот контроль не поддерживает оригинальную теорию содержащуюся в ур. В.3. Он просто сообщает, что повидимому программы правильно вычисляют ур. В.3. Частичное подтверждение теории было проведено экспериментально, но дифракционные структуры реальных апертур чрезвычайно компактны. Следовательно, их яркость трудно оценить численно (Тэйлор и Томпсон 1958).

В.6.2 Численное сравнение с аналитическим решением

Любая числовая процедура должна бы воспроизводить простые системы для которых ответ узнается аналитически. К сожалению, лишь несколько дифракционных проблем было решено в закрытой форме. С нашей точки зрения была бы приемлема аналитическая теория круговой апертуры содержащая по меньшей мере одну аберрацию.

Решение для другой совершенной круговой апертуры с аберрацией дефокусировки представлено в гл. 8 Борна и Вольфа. Оно включает то что называется функциями Ломмеля представляющими вариант интеграла в ур. В.4 (Борн и Вольф 1980, стр. 438-439).

Рис. В-3. Сравнение изображений АПЕРТУРы (APERTURE) и ASYMM на +1/4 длины волны сферической аберрации 25%-о экранированного зрачка.

PSF (дифракционная структура)

SA=0.25 OB=25% на 5 длин волны дефокусировано

Редуцированный угол (1.22 = диск Эри)

Рис. В-4. Функции точечного распространения, использованные для генерации предидущего рисунка вдоль одного радиуса.

Оба решения написаны как бесконечные серии, имеющие каждая свою область приложения, одно внутри геометрической тени другое, вне нее. Эти серии были запрограммированы в MathCadÔовском документе и каждая была начерчена в области, в которой предполагается работать (не показано). Результаты были неотличимы от результатов АПЕРТУРы. Тесты проводились вплоть до 12 длин волны аберрации дефокусировки и были ограничены в функциях Бесселя влоть до 80-ого порядка.

Опять эта проверка убедительна, но неполна. Она тестирует дефокусировочный компонент функции аберрации (который проявляется отдельным членом в обоих алгоритмах), но оставляет другие аберрации впокое. Однако, центральный цикл ASYMM и APERTURE де проводит различий между аберрацией дефокусировки и другими. Если бы была сделана ошибка, она была бы в подготовительных командах в обеих программах. Дальше - больше, любая предполагаемая ошибка должна оставить аберрацию дефокусировки незапятнанной в обеих процедурах.

В.6.3 Сравнение с опубликованными образцами.

Возможно, наиболее строгой проверкой аппроксимации здесь было сравнение структур сгенерированных ASYMM c опубликованными контурными чертежами для комы и астигматизма. Контурные рисунки комы были начерчены аналитически Р.Кингслейком (1948), но они более доступны в перепечатке у Борна и Вольфа (6-я ред., 1980). Контурный рисунок астигматизма был опубликован Nienhuis’ом и Nijboer’ом (1949).

Выражения аберраций несколько отличаются от первичных аберраций использованных для производства этих контурных рисунков, но если мы проследим за деталями, мы найдем, что 3.2 и 6.4 длин волны первичной комы переводятся в 2.13 и 4.27 длин волны аберрации комы пик-к-подошве определенной в фокусе дифракции Цернике. Другими словами, кома определенная здесь – коэффициент 2/3 появляющийся у Борна и Вольфа. Похоже, величина астигматизма использованная там была 0.64 длины волны, которые переводятся в 1.28 длины волны амплитудного (пик-к-подошве) астигматизма. Сьруктуры рисуемые ASYMM’ом появляются на рис. В-5. Они соответствуют полным формам контурных рисунков очень хорошо (оси были перемечены в Борне и Вольфе стр.478, 480).

В.7 Численные ограничения в программах.

Хотя APERTURE также цифровая модель, у ASYMM гораздо больше возможностей давать неверные результаты. Опыт показал, что 129 точек на диаметре апертуры с трудом моделировали аберрацию превосходящую 10 длин волны. Вдоль каждого диаметра при таких условиях, как минимум около 5-и сэмплов имеют место в пределах зоны френеля. Ошибки вполне могут усредниться до нуля только потому, что множество таких диаметров статистически складываются.

ASYMM моделирует апертуру с приблизительно круговой структурой 64-х точек в радиусе. Эти точки распространены прямоугольной структурой. Край такой сэмплированной апертуры необходимо рваный. Мы возможно способны оценить насколько большая вызывается ошибка исследовав рис. В-6, который показывает разницу между APERTURE и ASYMM на дефокусированной неаберрированной апертуре увеличиваемой до тех пор пока ошибки не станут видимыми.

 

Рис. В-5. Рисунки репродукции комы и астигматизма. Левые рисунки не в том же масштабе, что контурные чертежи справа. (Контуры комы напечатаны с разрешения Р.Кингслейка, а контуры астигматизма с благославления Elsevier Science Publishing.)

Потому, что APERTURE может быть настроена суммировать по более мелкой одномерной сетке (здесь она 500 точек), она страдает меньшей грязностью.

Рис. В-6. Погрешности ограниченного размера сэмплов в ASYMM.

Модель в APERTURE имеет гладкие края потому, что угловой интеграл делается аналитически.

Максимальная разница около 0.000075, или 1 часть в 13’300. Так, мы видим менее одного ошибочного сэмпла на 12’853 точки на апертуре вносящей вклад в интенсивность.

Задумаемся на мгновение о способе как эти рваные края работают. Если точка дальше от центра больше чем на радиус единства, модель игнорирует ее. Каждая точка представляет собой квадратную область вокруг своего основания. Таким образом, если эта маленькая черепичка больше чем вполовину больше за радиусом, ее вклад игнорируется. Если она простирается менее чем на половину за границу, считается ее полный вклад, даже для области что выпирает наружу. 1/13’000 погрешность очень маленькая ошибка и возможно меньшая, чем заслуживает того программа. Подозреваемо, что такая большая погрешность как 4 части в 13’000 появляется время от времени. Такая погрешность была бы 0.0003 или –35дб. Так как эта интенсивность приблизительно такая же как при 9 длинах волн дефокусировки, нам бы следовало ожидать, что точность за пределами дефокусных оценок от 8-10 длин волны уменьшается.

На практике, ASYMM не сбоит из-за рваных краев зрачка. Рис. В-7 показывает сравнение между двумя совершенными изображениями, каждым дефокусированным на 8 длин волны. Один был произведен с помощью ASYMM другой с APERTURE. Они были напечатаны оба в чрезвычайно низком контрасте, чтобы показать перообразный вид вызываемый жесткими краями зрачка ASYMM. Эта паразитная деталь была много ниже –35дб. Во всех реальных случаях, контраст был достаточно велик, чтобы такая морщинистость была практически невидима.

Рис. В-7. Структуры чрезвычайно низко-контрастного изображения показывающие крошечные погрешности в вычислении ASYMM.

Последняя проблема с редко сэмплированным зрачком ASYMM – решетчатая интерференция. Если фазовый сдвиг между смежными вносящими свой вклад в общую картину элементами одна длина волны, они снова ведут себя как если бы они были в фазе. Для нашего зрачка диаметром в 128 точек, это условие работает при Dq /l =128.

Этот эффект – артефакт претендующий на то, что удивительно гладкая поверхность могла бы быть представлена квадратной сеткой точек 129х129. В терминологии FFT, мы можем назвать такой феномен «смещением имен». Это эффект превращения непрерывного преобразования Фурье в дискретно сэмплированное.

Если мы не дефокусировали достаточно далеко чтобы отклонить значащий луч в удаленные части пространства изображения, никаких затруднений не будет. Другими словами, это изображение его близнец (следуют под сокращенным углом 128) не интерферируют потому, что они не бросают много света удаленного от их центров. Тем не менее, существует предел дефокусировки изображения, пока интерференция не станет серьезной. Мы должны знать, что этот предел такой, что он может рыть разумно обойден.

Рис. В-8 показывает структуру к Dq /l =128 для трех случаев: аберрации дефокусировки в 8, 12 и 16 длин волны. Ясно, 16 длин волны слишком далеко, и 12 – сомнительно из-за темно серых усиков между изображениями. Только кадр, показывающий 8 длин волны показывает дифракционные диски реально изолированными.

Нам бы следовало ожидать изображений свободных от интерференции, если мы можем вставить весь дефокусированный диск в темную область между изображениями. Геометрический радиус изображения в сокращенном углу - четырежды число длин волны дефокусировки. Этот результат может быть получен рассмотрением уравнения 5.1,

Рис. В-8. Интерференция между изображениями бокового порядка в ASYMM. Заметьте, что сокращенный угол очень велик в 128.

где F фокальное отношение и D n число длин волны разницы фокусировки. Мы можем вычислить геометрический радиус изображения:

(В.13)

Раз радиус диска Эри 1.22Fl мы можем идентифицировать Fl как множитель перевода из сокращенного угла в радиус. Таким образом, 4D n число длин волны разницы фокусировки. В представленном случае, аберрация в 8 длин волн аберрации дефокусировки значит, что геометрическая тень начинается на сокращенном угле 4х8=32, или 26.2 радиуса диска Эри.

Восьми длин волн должно едва хватить, чтобы разместить целый диск между этим диском и порядком интерференции, отцентрированном под сокращенном углом в 128. Геометрический радиус появился бы в центре и с краю с диаметром в середине: 32+64+32=128. Конечно, изображение выглядит несколько меньше, чем геометрический радиус. Целый диск лег бы между двумя с некоторым скрежетом.

Время от времени, у ASYMM спрашивалось посчитать изображение на10 длин волн вне фокуса. Некоторая интерференция из бокового порядка была замечена в нескольких случаях, но урон был невелик.

Все структуры с аберрацией дефокусировки за 10 длин волны считались только по программе АПЕРТУРА, которая менее чувствительна к погрешности сэмплирования.

В.8 Трудности в печати.

Динамический диапазон книжной репродукции не такой же как у человеческого глаза. Когда глаз получает неверный уровень света, он подстраивается. Бумага так не может. Полутоновый процесс делит серую шкалу в точечные структуры. Идеальный динамический диапазон для такого процесса допускает серую шкалу с 256-ю уровнями интенсивности.

Ясно, наиболее желательным методом было бы использование неизменяемого масштаба для процесса печати. Эта процедура невозможна с только 256-ю уровнями. Мы видели выше, что много интересных деталей проявлялись только с интенсивностью в 0.0001, в частности с большими значениями аберрации дефокусировки. Так, никакой однородный масштаб не может покрыть и сфокусированные изображения (интенсивность=1) и дефокусированные (интенсивность @ 0.0001). Нам бы потребовалась серая шкала с 10’000-ми уровнями интенсивности. Также, изображение, что подсвечивает само себя и изображение обладающее отражательной способностью имеют малые различия. Реальные звезды видятся на темном фоне, с логарифмической чувствительностью глаза прослеживающей пониженную чувствительность дефокусированного изображения. Изображения на бумаге должны быть освещены лампой. Когда бумажные изображения становятся темнее, глаз не подстраивается. Яркие углы бумаги все еще в поле зрения, и добавочное освещение ниспровергает аккомодацию.

Совместно с этой проблеммой существуют нелинейности связанные с печатью. Часто темный конец масштаба темнее ожидаемого из-за механизма распределения чернил. Наиболее яркие части изображения тоже слишком яркие потому, что очень маленькие изолированные точки не способны ухватить чернила вовсе. Результат фильтрации повышение контраста и понижение динамического диапазона.

У нас не было никакого другого выбора кроме как произвольно следовать за уменьшенным диапазоном грубо линейной шкалы печати. В изображениях по всей этой книге, яркость кадра существенно изменялась. Сфокусированные изображения компактны; они кажутся нарисованными пятном белой краски. С другой стороны, дефокусированные изображения переданы намного ярче, чем они выглядят на самом деле в телескоп. И контраст и яркость находятся под субъективным контролем.

Когда вы рассматривете любое изображение в этой книге, обращайте больше внимания на форму, а не на абсолютную яркость. Подсветка такого изображения наименее значимое (и наиболее вводит в заблуждение) из их свойств.

Реклама: мужские украшения | Материалы для неона - неон.
Hosted by uCoz